対数で割り算を引き算に変換する方法

対数で掛け算を足し算に変換できるのと同様に、割り算を引き算に変換することもできます。これは同じ数学的原理の表裏一体の関係なのです！

すべての対数公式を確認したい方はこちらの完全ガイド →をご覧ください。

基本的な考え方

商の対数は、各数の対数の差に等しくなります：

$\log_b(M ÷ N) = \log_b(M) - \log_b(N)$

[graph: 対数スケールでプロットすると割り算の曲線が直線になることを示す図]

なぜこれが成り立つのか

10を底とする簡単な例で理解してみましょう：

割り算	対数を使用	結果
$1000 ÷ 100$	$\log_{10}(1000) - \log_{10}(100)$	$3 - 2 = 1$
	したがって：$\log_{10}(10) = 1$	$10 = 10^1$

具体例で見てみよう

例題1：大きな数の割り算

8000 ÷ 400 を対数を使って計算してみましょう：

1. $\log_{10}(8000 ÷ 400) = \log_{10}(8000) - \log_{10}(400)$
2. $= 3.903 - 2.602$
3. $= 1.301$
4. したがって、$8000 ÷ 400 = 10^{1.301} = 20$

例題2：べき乗の簡単な計算

$2^7 ÷ 2^3$ を計算する場合：

ステップ	計算	説明
1	$\log_2(2^7 ÷ 2^3)$	両辺の底を2とする対数をとる
2	$= \log_2(2^7) - \log_2(2^3)$	商の対数の性質を適用
3	$= 7 - 3$	簡略化
4	$= 4$	したがって、$2^7 ÷ 2^3 = 2^4$

実用的な応用例

1. pH計算：化学でのpH計算では、水素イオン濃度の測定にこの性質を利用します
2. 音量変化の計算：デシベル（dB）の減少計算には対数的な引き算が使われます
3. 工学での比率：システムでの利得や損失を扱う際に活用されます

よくある間違いと注意点

掛け算と割り算の関連性

演算	対数の性質	例
掛け算	$\log(A × B) = \log(A) + \log(B)$	$\log(30) = \log(3) + \log(10)$
割り算	$\log(A ÷ B) = \log(A) - \log(B)$	$\log(30) = \log(300) - \log(10)$

練習問題

以下の割り算を対数を使って解いてみましょう：

1. $1000 ÷ 25$
2. $2^8 ÷ 2^3$
3. $900 ÷ 30$

解答例と追加の練習問題 →