対数の計算公式と解き方

対数の計算公式

基本的な性質

対数の定義：正の実数 $M$ と $b$ （ただし $b ≠ 1$）について：

$y = \log_b(M) \iff b^y = M$

基本的な値

式	値	理由	例
$\log_b(1)$	$0$	$b^0 = 1$	$\log_{10}(1) = 0$
$\log_b(b)$	$1$	$b^1 = b$	$\log_{10}(10) = 1$
$\log_b(b^n)$	$n$	$b^n = b^n$	$\log_{10}(100) = 2$

計算の基本法則

1. 積の法則

対数の中で数を掛け合わせる場合：

$\log_b(M × N) = \log_b(M) + \log_b(N)$

例題：$\log_{10}(20)$ を計算する

1. $20 = 2 × 10$ と分解
2. $\log_{10}(20) = \log_{10}(2 × 10)$
3. $= \log_{10}(2) + \log_{10}(10)$
4. $= 0.301 + 1$
5. $= 1.301$

2. 商の法則

対数の中で数を割る場合：

$\log_b(M ÷ N) = \log_b(M) - \log_b(N)$

例題：$\log_{10}(5)$ を計算する

1. $5 = 50 ÷ 10$ と考える
2. $\log_{10}(5) = \log_{10}(50 ÷ 10)$
3. $= \log_{10}(50) - \log_{10}(10)$
4. $= 1.699 - 1$
5. $= 0.699$

3. べき乗の法則

指数がある場合：

$\log_b(M^n) = n × \log_b(M)$

例題：$\log_{10}(1000)$ を計算する

1. $1000 = 10^3$ と考える
2. $\log_{10}(1000) = \log_{10}(10^3)$
3. $= 3 × \log_{10}(10)$
4. $= 3 × 1$
5. $= 3$

底の変換

一般公式

異なる底への変換：

$\log_b(M) = \frac{\log_a(M)}{\log_a(b)}$

ここで $a$ は任意の底（通常は 10 または e）

よく使う変換

変換前	変換後	公式	計算例
$\ln(x)$	$\log_{10}(x)$	$\ln(x) × 0.4343$	$\ln(100) × 0.4343 = 2$
$\log_{10}(x)$	$\ln(x)$	$\log_{10}(x) × 2.303$	$\log_{10}(100) × 2.303 = 4.606$

計算例題集

例題1：$\log_{10}(200)$ の計算

1. 200 を $2 × 100$ と分解
2. $\log_{10}(200) = \log_{10}(2 × 100)$
3. $= \log_{10}(2) + \log_{10}(100)$
4. $= 0.301 + 2$
5. $= 2.301$

例題2：$\log_2(32)$ の計算

1. 32 は $2^5$ と表せる
2. $\log_2(32) = \log_2(2^5)$
3. $= 5 × \log_2(2)$
4. $= 5 × 1$
5. $= 5$

例題3：$\log_{10}(0.01)$ の計算

1. 0.01 は $10^{-2}$ と表せる
2. $\log_{10}(0.01) = \log_{10}(10^{-2})$
3. $= -2 × \log_{10}(10)$
4. $= -2 × 1$
5. $= -2$

公式早見表

法則	公式	例題
積の法則	$\log_b(M × N) = \log_b(M) + \log_b(N)$	$\log_{10}(20) = \log_{10}(2) + \log_{10}(10)$
商の法則	$\log_b(M ÷ N) = \log_b(M) - \log_b(N)$	$\log_{10}(5) = \log_{10}(50) - \log_{10}(10)$
べき乗の法則	$\log_b(M^n) = n × \log_b(M)$	$\log_{10}(1000) = 3 × \log_{10}(10)$
底の変換	$\log_b(M) = \frac{\log_a(M)}{\log_a(b)}$	$\ln(x) = \log_{10}(x) × 2.303$

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