対数で掛け算を足し算に変換する方法

対数（log）の最も興味深い性質の一つは、掛け算を足し算に変換できることです。この性質は、電卓が存在する以前の計算において非常に重要な役割を果たしていました！

すべての対数公式を確認したい方はこちらの完全ガイド →をご覧ください。

基本的な考え方

積の対数は、各因数の対数の和に等しくなります：

$\log_b(M × N) = \log_b(M) + \log_b(N)$

なぜこれが成り立つのか

10を底とする簡単な例で理解してみましょう：

掛け算	対数を使用	結果
$100 × 1000$	$\log_{10}(100) + \log_{10}(1000)$	$2 + 3 = 5$
	したがって：$\log_{10}(100,000) = 5$	$100,000 = 10^5$

具体例で見てみよう

例題1：大きな数の掛け算

200 × 300 を対数を使って計算してみましょう：

1. $\log_{10}(200 × 300) = \log_{10}(200) + \log_{10}(300)$
2. $= 2.301 + 2.477$
3. $= 4.778$
4. したがって、$200 × 300 = 10^{4.778} = 60,000$

例題2：べき乗の簡単な計算

$2^4 × 2^3$ を計算する場合：

ステップ	計算	説明
1	$\log_2(2^4 × 2^3)$	両辺の底を2とする対数をとる
2	$= \log_2(2^4) + \log_2(2^3)$	積の対数の性質を適用
3	$= 4 + 3$	簡略化
4	$= 7$	したがって、$2^4 × 2^3 = 2^7$

この性質が役立つ場面

1. 複雑な計算の簡略化：掛け算を足し算に変換することで、特に大きな数の計算が容易になります。
2. 科学的記数法：非常に大きな数値や小さな数値を扱う際に特に有用です。
3. 音や光の強度：物理学では、デシベルなど広範囲の値を扱う際に対数スケールが活用されています。

練習問題

以下の掛け算を対数を使って解いてみましょう：

1. $40 × 50$
2. $2^5 × 2^3$
3. $100 × 1,000$

解答例と追加の練習問題 →