指数法則の完全ガイド：分かりやすい例題付き解説

指数とは

指数（べき乗）は、ある数を何回掛け合わせるかを示します。例えば：

$2^3 = 2 × 2 × 2 = 8$

ここでは：

• 2 が底（べース）
• 3 が指数（べき）
• 8 が結果

対数との関係について詳しく知りたい方はこちら →

指数法則の基本

1. 乗法の法則

同じ底を持つ指数の掛け算では、指数を足します：

$a^m × a^n = a^{m+n}$

なぜこうなるのか：

• $2^3 × 2^4 = (2×2×2) × (2×2×2×2) = 2^7$
• つまり、底を掛け合わせる回数を数えているだけです

2. 除法の法則

同じ底を持つ指数の割り算では、指数を引きます：

$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$

なぜこうなるのか：

• $\frac{2^5}{2^2} = \frac{2×2×2×2×2}{2×2} = 2×2×2 = 2^3$
• 共通する因数が約分されます

3. べき乗の法則

指数の指数は、指数同士を掛けます：

$(a^m)^n = a^{m×n}$

なぜこうなるのか：

• $(2^3)^2 = (2×2×2)^2 = (2×2×2)×(2×2×2) = 2^6$
• 式全体をn回繰り返すことになります

4. 零乗の法則

0乗は1になります（0以外の数の場合）：

$a^0 = 1 \text{ (ただし } a ≠ 0)$

なぜこうなるのか：

• $\frac{a^n}{a^n} = a^{n-n} = a^0 = 1$
• これが0乗が1になる理由です

5. 負の指数の法則

負の指数は、分数の形に直して指数を正にします：

$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

例：

• $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$

6. 分数指数の法則

分数の指数は、根号を表します：

$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$

例：

• $8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2$
• $16^{\frac{1}{2}} = \sqrt{16} = 4$

対数の公式との関連について →

指数法則例題

例題1：$2^3 × 2^4$ を計算しなさい

1. 乗法の法則を使う
2. $2^3 × 2^4 = 2^{3+4} = 2^7$
3. $2^7 = 128$

例題2：$\frac{x^5}{x^2}$ を計算しなさい

1. 除法の法則を使う
2. $\frac{x^5}{x^2} = x^{5-2} = x^3$

例題3：$(3^2)^4$ を計算しなさい

1. べき乗の法則を使う
2. $(3^2)^4 = 3^{2×4} = 3^8$
3. $3^8 = 6,561$

指数法則まとめ表

法則	公式	例
乗法の法則	$a^m × a^n = a^{m+n}$	$2^3 × 2^4 = 2^7$
除法の法則	$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$	$\frac{x^5}{x^2} = x^3$
べき乗の法則	$(a^m)^n = a^{m×n}$	$(2^3)^2 = 2^6$
零乗の法則	$a^0 = 1$	$5^0 = 1$
負の指数の法則	$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$	$2^{-3} = \frac{1}{8}$
分数指数の法則	$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$	$8^{\frac{1}{3}} = 2$