対数（log）とは？分かりやすい解説と計算方法

対数（log）とは？

対数（logarithm、ログ）は、ある数を、別の数を何回掛けると得られるかを表す数です。

例えば、よく知られている指数の例から考えてみましょう：

$2^3 = 8$

これは：

• 2 を 3 回掛け合わせる：$2 × 2 × 2 = 8$
• 3 を指数と呼びます
• 2 を底（べき）と呼びます

この関係を対数で表すと：

$\log_2(8) = 3$

となります。これは「2を何回掛けると8になるか？」という問いの答えが3である、という意味です。

対数の種類と特徴

1. 常用対数（$\log$ または $\log_{10}$）

最も一般的な対数で、底が10のものを指します。

• 例：$\log_{10}(100) = 2$（$10^2 = 100$ だから）
• 例：$\log_{10}(1000) = 3$（$10^3 = 1000$ だから）
• 特徴：桁数の計算に便利

2. 自然対数（$\ln$ または $\log_e$）

底が自然数 $e$ （約2.718） の対数です。

• 例：$\ln(e) = 1$（$e^1 = e$ だから）
• 例：$\ln(e^2) = 2$（$e^2 = e × e$ だから）
• 特徴：微分・積分で重要な役割

3. 二進対数（$\log_2$）

底が2の対数です。

• 例：$\log_2(8) = 3$（$2^3 = 8$ だから）
• 例：$\log_2(16) = 4$（$2^4 = 16$ だから）
• 特徴：コンピュータの計算で使用

対数の基本法則

1. 積の法則

掛け算は足し算になります： $\log(a × b) = \log(a) + \log(b)$

例：$\log(100 × 1000) = \log(100) + \log(1000) = 2 + 3 = 5$

2. 商の法則

割り算は引き算になります： $\log(a ÷ b) = \log(a) - \log(b)$

例：$\log(1000 ÷ 100) = \log(1000) - \log(100) = 3 - 2 = 1$

3. べき乗の法則

べき乗は掛け算になります： $\log(a^n) = n × \log(a)$

例：$\log(100^2) = 2 × \log(100) = 2 × 2 = 4$

対数の計算のコツ

1. 底の確認

   • 底が明記されているか確認
   • 明記がない場合は10（常用対数）とみなす

2. 計算の順序

   • まず、べき乗の法則を適用
   • 次に、積・商の法則を適用
   • 最後に、必要な底の変換を行う

3. よくある間違い

   • 負の数の対数は存在しない
   • 0の対数は定義されない
   • 底を1にはできない

実生活での応用例

📏 地震の規模（マグニチュード）

リヒタースケールは常用対数（底10）を使用：

• マグニチュード6は、マグニチュード5の10倍の強さ
• マグニチュード7は、マグニチュード5の100倍の強さ

地震マグニチュードの比較

🔊 音の大きさ（デシベル）

デシベルも対数を使用：

• +10dBごとに音の強さは10倍に
• 普通の会話：約60dB
• ロックコンサート：約110dB（約100,000倍！）

練習してみましょう

対数計算ツールを使って、実際に計算を試してみましょう：

• 計算過程が表示されるので、学習に最適
• スマートフォンでも使いやすい
• 常用対数、自然対数、二進対数に対応